已知⊙C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为PB=2AP，-数学试题及答案

1、试题题目：已知⊙C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
（3）若定点P（1，1）分弦AB为

PB

=2

AP

，求l方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）圆心C（0，1），半径r=

5

，则圆心到直线L的距离d=

|-m|

1+m2

＜1，
∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（4分）
（2）设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）
斜率存在时则kAB=

y-1

x-1

，又kMC=

y-1

x

，k_AB?K_NC=-1，
∴

y-1

x-1

?

y-1

x

=-1，整理得；x²+y²-x-2y+1=0，
即：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圆心坐标是（

1

2

，1），半径是

1

2

的圆；
斜率不存在时，也满足题意，
所以：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圆心坐标是（

1

2

，1），半径是

1

2

的圆．（4分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）解方程组

mx-y+1-m=0

(y-1)2+x2=5

得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x1+x2=

2m2

1+m2

，①
又

PB

=2

AP

∴（x₂-1，y₂-1）=2（1-x₁，1-y₁），
即：2x₁+x₂=3②
联立①②解得x1=

3+m2

1+m2

，则y1=

(m+1)2

1+m2

，即A（

3+m3

1+m2

，

(m+1)2

1+m2

）
将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，
∴直线方程为x-y=0和x+y-2=0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知⊙C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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