如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。

试题来源：0108 月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：取AB的中点D，连结PD，CD，
∵AP=BP，
∴PD⊥AB，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD，
∵PC

平面PCD，
∴PC⊥AB。
（Ⅱ）解：

，

，
∴

，
又

，
∴PC⊥BC，
又

，即

，且

，
∴BC⊥平面PAC，
取AP的中点E，连结BE，CE，
∵AB=BP，∴BE⊥AP，
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP， ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，

，
∴

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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