已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，∴2a²=2，a²=1．
∴双曲线C的方程为：x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1

x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞0

2m

1-m2

＜0且

-2

1-m2

＞0

，解得1＜m＜

2

．又AB中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直线l的方程为：y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m-

1

4

)2+

17

8

．
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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