已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．（1）证明：不论m取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）²+（y+6）²=25．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵2mx-y-8m-3=0，
∴（2x-8）m-（y+3）=0，
∴

2x-8=0

y+3=0

，解得

x=4

y=-3

，
∴直线l恒过（4，-3），
∵点（4，-3）到圆心（3，-6）的距离d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜r=5，
故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．
（2）由（1）可知0≤d≤

10

，即d的最大值为

10

．
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．
∴当d=

10

时，
线段（即弦长）的最短长度为
2

25-

10

p2

=2

15

．（9分）
将d=

10

代入①可得m=-

1

6

，
代入直线l的方程，
得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x+3y+5=0．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．（1）证明：不论m取..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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