已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）²+（y+1）²=12．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

y=kx+1

(x-1)2+(y+1)2=12

，消去y得到（k²+1）x²-（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）²+28k²+28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

8-4k+11k2

1+k2

=2

11-

4k+3

1+k2

，
令t=

4k+3

1+k2

，则有tk²-4k+（t-3）=0，
当t=0时，k=-

3

4

；
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=

4k+3

1+k2

的最大值为4，此时|AB|最小值为2

7

，
则直线l被圆C截得的最短弦长为2

7

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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