动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1．圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．（1）求曲线C1的方程；（2）设点A（a，-数学试题及答案

1、试题题目：动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C₁．圆C₂的圆心T是曲线C₁上的动点，圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设点A（a，0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，（2分）
化简得：y²=4x，
∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）
（2分）
∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）
（2）设点T的坐标为（x₀，y₀），圆C₂的半径为r，
∵点T是抛物线C₁：y²=4x上的动点，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

（6分）
=

x

20

-2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，则当x₀=a-2时，|AT|取得最小值为2

a-1

，（8分）
依题意得2

a-1

=a-1，
两边平方得a²-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．（10分）
∴x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y0=±2

3

．
∴圆C₂的圆心T的坐标为（3，±2

3

）．
∵圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2-

x

20

=4．
∴r=

4+

x

20

=

13

．（12分）
∵点T到直线l的距离d=|x0+1|=4＞

13

，
∴直线l与圆C₂相离．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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