已知：椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F1，F2，直线AF2与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两-数学试题及答案

1、试题题目：已知：椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F1，F2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知：椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F₁，F₂，直线AF₂与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的下顶点为B，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，当|BM|=|BN|时，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）圆（x-3）²+（y-1）²=3，圆心M（3，1），半径r=

3

∵A（0，1），F₂（c，0），∴直线AF₂：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0…（2分）
∵直线AF₂与圆M相切，∴

|3+c-c|

c2+1

=

3

，解得c=

2

∴a²=c²+1=3
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）椭圆C的下顶点为B（0，-1）
设P为弦MN中点，由

y=kx+m

x2

3

+y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0
∵直线与椭圆有两个交点，∴△＞0即m²＜3k²+1…①…（7分）
xP=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，yP=kxP+m=

m

3k2+1

∴kBP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即：2m=3k²+1…②…（10分）
由②得k2=

2m-1

3

…③
③代入①得2m＞m²∴0＜m＜2又k²＞0，∴m＞

1

2

故m的取值范围为

1

2

＜m＜2…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点为F1，F2..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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