已知向量OA=(λsinα，λcosα)，OB=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．（1）求OA，OB的夹角θ的大小；（2）求|AB|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量OA=(λsinα，λcosα)，OB=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．（1）求OA，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知向量

OA

=(λsinα，λcosα)，

OB

=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求

OA

，

OB

的夹角θ的大小；
（2）求|

AB

|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）|

OA

|=|λ|，|

OB

|=1

OA

?

OB

=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=

OA

?

OB

|

OA

||

OB|

=

λsin4

|λ|

．
当λ＞0时，cosθ=sin4=cos（4-

π

2

），
因0≤θ≤π，0≤4-

π

2

≤π，故θ=4-

π

2

；
当λ＜0时，cosθ=-sin4=cos(

3π

2

-4)，
因0≤θ≤π，0≤

3π

2

-4≤π，故θ=

3π

2

-4
（2）|

AB

|2=(

OB

-

OA

)2
=

OB

2-2

OB

?

OA

+

OA

2
=λ²-2λsin（α+β）+1
=λ²-2λsin4+cos²4+sin²4
=（λ-sin4）²+cos²4
≥cos²4
所以|

AB

|的最小值为-cos4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量OA=(λsinα，λcosα)，OB=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．（1）求OA，..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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