如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，且BA?BC=0，异面直线A1B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点．（1）证明：A1E⊥GF；（2）求二面角B1-A1C-C1的-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，且BA?BC=0，异面直线A1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-13 07:30:00

试题原文

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，且

BA

?

BC

=0，异面直线A₁B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB₁的中点，点F是棱B₁C₁上的动点．
（1）证明：A₁E⊥GF；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小；
（3）求点E到面AB₁C的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线、平面的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：以B为原点，BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱柱的高为h，
则A（2，0，0），C（0，2，0），G（1，1，0），A₁（2，0，h）

魔方格

所以

BA1

=(2，0，h)，

CA

=(2，-2，0)，
所以cos＜

BA1

，

CA

＞=

4

2

?

4+h2

=

1

2

，
解得h=2，
所以E（0，0，1），A₁（2，0，2），
所以

A1E

=(-2，0，-1)．
因为F是B₁C₁上的动点，设F（0，y，2），
所以

GF

=(-1，y-1，2)，
所以

A1E

?

GF

=0，
所以A₁E⊥GF．
（2）因为平面A₁CC₁的一个法向量是

BG

=(1，1，0)．
设平面A₁B₁C的一个法向量

n

=(x，y，z)，
因为

A1C

=(-2，2，-2)，

A1B1

=(-2，0，0)，
所以

n

?

A1C

=0

n

?

A1B1

=0

，可解得一个法向量为

n

=(0，1，1)，
所以cos＜

n

，

BG

＞=

1

2

，
所求角为60°．
（3）易求得面AB₁C的法向量

n

=(1，1，1)，
又因为

EA

=(2，0，-1)，
所以E到面AB₁C的距离为d=

|

n

?

EA

|

n

|

=

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，且BA?BC=0，异面直线A1..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线、平面的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线、平面的距离”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：