设函数f（x）=ax-x（a＞0，a≠1）（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax-x（a＞0，a≠1）（1）若a=e（e是自然对数的底数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1…（2分）
当f′（x）＞0时，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上单调递减．…（2分）
所以x=0是极小值点，f_极小值=f（0）=1…（2分）
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，则有lna=

lnx

x

在（0，+∞）有2解，…（2分）
设g(x)=

lnx

x

，则g′(x)=

1-lnx

x2

…（1分）
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且0＜g(x)＜

1

e

当0＜x≤e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且g(x)≤

1

e

…（4分）
根据图象可知0＜lna＜

1

e

，
∴1＜a＜e

1

e

…（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax-x（a＞0，a≠1）（1）若a=e（e是自然对数的底数..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：