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1、试题题目：已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：已知三角函数值求角



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵f（x）=81n（1+ex）-9x，
∴f(x1)+f(x2)-2f(
x1+x2
2
)=8[1n(1+ex1)-9x1+1n(1+ex2)-9x2-21n(1+e
x1+x2
2
)+9(x1+x2)]
=8[1n(1+ex1)(1+ex2)-1n(1+e
x1+x2
2
)2] 
=8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2?e
x1+x2
2
+ex1+x2)]．
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2
ex1+x2
=2?e
x1+x2
2
，∴f(x1)+f(x2)-2f(
x1+x2
2
)＞0，
∴f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
（2）∵f′（x）=
8ex
1+ex
-9=
-9-ex
1+ex
＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
x1+x2
2
，
∴
BA
?
BC
=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]?[f(x3)-f(x2)] 
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
BA
?
BC
＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形．  若△ABC是等腰三角形，则只可能是
|BA|
=|
BC|
，
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=
x1+x3
2
，∴有[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2，∴f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），
即：f（x2）=
f(x1)+f(x3)
2

即：f(
x1+x2
2
)=
f(x1)+f(x2)
2
，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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