已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；（2）是否存在实数a，对任意给定的x0∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的xi（i=1，2），使得-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．（1）求函数g（x）在区间（0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x₀，y₀）（其中x0=

x1+x2

2

)总能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数 …（5分）∵f′(x)=a-

1

x

(1≤x≤e)
当a≤0时，f′(x)=a-

1

x

＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意
当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意
当0＜a≤

1

e

时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意
当1＜

1

a

＜e即

1

e

＜a＜1时，在区间[1，

1

a

]上单调递减；在区间[

1

a

，e]上单递增，
由上可得a∈(

1

e

，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f(

1

a

)=2+lna≤0可得a≤

1

e2

，则a∈Φ
综上，满足条件的a不存在．…..（8分）
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于k_AB，不妨设0＜x₁＜x₂，则kAB=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)-(lnx1-lnx2)

x1-x2

=a-

lnx1-lnx2

x1-x2

，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=a-

2

x1+x2

，故有

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

…..（10分）
即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2(

x1

x2

-1)

x1

x2

+1

，令t=

x1

x2

∈(0，1)，则上式化为lnt+

4

t+1

-2=0，
令F（t）=lnt+

4

t+1

-2，则由F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)

＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+

4

t+1

-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．（1）求函数g（x）在区间（0..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：