设函数f（x）=x3+bx2+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数c的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b，使得方程f（x）-b2x=0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+bx2+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）判断是否存在实数b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，∴f'（0）=0．
又f'（x）=3x²+2bx+c，则f'（0）=c=0．
（II）由c=0，方程f（x）-b²x=0可化为x³+bx²-b²x+5=0，假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，则令g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_极大值＜0或g（x）_极小值＞0
∴g'（x）=3x²+2bx-b²=（3x-b）（x+b）令g'（x）=0，得x1=

b

3

，x₂=-b
①若b=0，则方程f（x）-b²x=0可化为x³+5=0，此方程恰有一个实根x=

3	5

②若b＞0，则

b

3

＞-b，列表：

x

（-∞，-b）

-b

(-b，

b

3

)

b

3

(

b

3

，+∞)

g'（x）

+

0

-

0

+

g（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴g（x）_极大值=g（-b）=b³+5＞0，g(x)极小值=g(

b

3

)=-

5b3

27

+5
∴-

5b3

27

+5＞0，解之得0＜b＜3
③若b＜0，则

b

3

＜-b，列表：

x

(-∞，

b

3

)

b

3

(

b

3

，-b)

-b

（-b，+∞）

g'（x）

+

0

-

0

+

g（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴g(x)极大值=g(

b

3

)=-

5b3

27

+5＞0，g（x）_极小值=g（-b）=b³+5
∴b³+5＞0，解之得b＞-

3	5

∴-

3	5

＜b＜0
综合①②③可得，实数b的取值范围是(-

3	5

，3)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+bx2+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：