已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得f(b)-f(a)b-a=f′(x0)”成立．（1）利用这个性质证明x0唯一；（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b），使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)”成立．
（1）利用这个性质证明x₀唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：假设存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)
∴

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)
∴f′（x）=

ex

1+ex

-1=-

1

1+ex

，记g（x）=f′（x）=-

1

1+ex

，则g′（x）=

ex

(1+ex)2

＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，
∴所以x0′=x0 ，与x0′≠x0 矛盾，所以x₀是唯一的．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃
∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

?

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

?

BC

＜0
∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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