设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（1）当a=1时，求曲线y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

试题来源：南京一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）当a=1时，f（x）=x²+|lnx-1|
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+1，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a

2

)(x-

a

2

)（1≤x＜e）
（i）当

a

2

≤1，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，y_min=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当1＜

a

2

＜e，即2＜a＜2e²时，
f'（x）在x∈(1，

a

2

)时为负数，在间x∈(

a

2

，e

)时为正数
所以f（x）在区间[1，

a

2

)上为减函数，在(

a

2

，e]上为增函数
故当x=

a

2

时，ymin=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此时f(

a

2

)＜f(e)
（iii）当

a

2

≥e；即a≥2e²时，
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，y_min=f（e）=e²．
综上所述，当a≥2e²时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e²．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e²；
当2＜a＜2e²时，f（x）在x≥e时的最小值为f(

a

2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
而f(

a

2

)＜f(e)，
所以此时f（x）的最小值为f(

a

2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

．
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e²，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为ymin=

1+a，0＜a≤2

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，2＜a≤2e2

e2，a＞2e2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（1）当a=1时，求曲线y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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