已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3-x2-ax．（1）若x=23为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）3=bx有实根，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3-x2-ax．（1）若x=23为y=f（x）的极值点，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．（1）若x=

2

3

为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=

b

x

有实根，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

a

ax+1

+3x²-2x-a=

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

∵x=

2

3

为f（x）的极值点，∴f′（

2

3

）=0
∴3a(

2

3

)2+

2

3

（3-2a）-（a²+2）=0且

2

3

a+1≠0
∴a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=

2

3

为f（x）的极值点成立．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=

b

x

可得lnx-（1-x）²+（1-x）=

b

x

即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由h′（x）=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

∵x＞0
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3-x2-ax．（1）若x=23为y=f（x）的极值点，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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