设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；（Ⅱ）设g（x）=1-xkx+lnx，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈（0，1]，使f-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=

1-x

kx

+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，
由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x2=

1

3

，
列表如下：

x

(-∞，

1

3

)

1

3

(

1

3

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

-

0

+

0

-

f（x）

↘

极小值

50

27

↗

极大值2

↘

所以f(x)极小值=f(

1

3

)=

50

27

，f（x）_极大值=f（1）=2，
因为f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函数f（x）的零点是x=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，f(x)min=

50

27

，
“对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在（0，1]上的最小值，
即当x∈（0，1]时，g(x)min＜

50

27

”，
因为g′(x)=-

1

kx2

+

1

x

=

x-

1

k

x2

，
①当k＜0时，因为x∈（0，1]，
所以g(x)=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符合题意；
②当0＜k≤1时，

1

k

≥1，
所以x∈（0，1]时，g'（x）≤0，g（x）单调递减，
所以g(x)min=g(1)=0＜

50

27

，符合题意；
③当k＞1时，0＜

1

k

＜1，
所以x∈(0，

1

k

)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈(

1

k

，1)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x∈（0，1]时，g(x)min=g(

1

k

)=1-

1

k

+ln

1

k

，
令φ(x)=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1），则φ′(x)=

1

x

-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，
所以x∈（0，1）时，φ(x)＜φ(1)=-

50

27

＜0，即lnx-x＜

23

27

，
所以g(x)min=g(

1

k

)=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符合题意，
综上所述，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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