已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0（I）当x≠0时，求函数y=gx的表达式；（Ⅱ）若a＞0，且函数y=gx在0，+∞上的最小值是2，求a的值；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中所求的a值，若函数h(x)=13x3-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0（I）当x≠0时，求函数y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f

x

=ln|x|

x≠0

，函数g

x

=

1

f′

x

+af′

x

x≠0

（I）当x≠0时，求函数y=g

x

的表达式；
（Ⅱ）若a＞0，且函数y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中所求的a值，若函数h(x)=

1

3

x3-

b+1

2a

x2+bx，x∈R，恰有三个零点，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f

x

=ln|x|，
∴当x＞0时，f

x

=lnx；当x＜0时，f

x

=ln

-x

∴当x＞0时，f′

x

=

1

x

；当x＜0时，f′

x

=

1

-x

?

-1

=

1

x

．
∴当x≠0时，函数y=g

x

=x+

a

x

；
（Ⅱ）∵由（1）知当x＞0时，g

x

=x+

a

x

，
∴当a＞0，x＞0时，g

x

≥2

a

当且仅当x=

a

时取等号．
由2

a

=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当1＜x＜b，时h′（x）＜0，当x＞b时，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，则当0＜x＜b时，h′（x）＞0，当b＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0．
所以函数h（x）有三个零点的充要条件为

f(1)＞0

f(b)＜0

或

f(1)＜0

f(b)＞0

解得b＜

1

3

或b＞3．
综合：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)
另h(x)=

1

3

x3-

b+1

2

x2+bx=

1

6

x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有两个不等实根，且不含零根．
由

9(b+1)2-48b＞0

b≠0

，解得：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0（I）当x≠0时，求函数y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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