已知函数g(x)=13ax3+12x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底数（I）若函数g（x）在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求实数a的值；（II）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=13ax3+12x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=

1

3

ax3+

1

2

x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底数
（I）若函数g（x）在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求实数a的值；
（II）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（III）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

试题来源：济宁一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意得，g′（x）=ax²+x，
∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，
∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-

1

2

，即g′（1）=a+1=-

1

2

，
解得a=-

3

2

，
（II）由（I）得，f（x）=g′（x）e^x=（ax²+x）e^x，
则f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立，
即ax²+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）?g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0

g(-1)≥0

，即

3a+2≥0

-a≥0

，得-

2

3

≤a＜0，
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]，
（III）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等价于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，
因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=13ax3+12x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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