过抛物线x2=2y上两点A（-1，12）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．（1）求证：∠BAM=∠BMA；（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F1、F2为C的-数学试题及答案

1、试题题目：过抛物线x2=2y上两点A（-1，12）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

过抛物线x²=2y上两点A（-1，

1

2

）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．
（1）求证：∠BAM=∠BMA；
（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F₁、F₂为C的两个焦点，B₁、B₂为C的虚轴的两个端点，过点B₂作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当

PB1

?

QB1

∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

试题来源：成都二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=

1

2

x²，
∴y'=x，
切于点A（-1，

1

2

）的切线方程为y-

1

2

=-（x+1），
切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），
联立解得M（

1

2

，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1，
由题意，有m-

1

4

n=1且4m-4n=1，
解得m=

5

4

，n=1，
∴双曲线方程为

5

4

x²-y²=1，
不妨设B₁（0，1），B₂（0，-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

PB1

=（-x₁，1-y₁），

QB1

=（-x₂，1-y₂），
∴

PB1

?

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），
由

y=kx-1

5x2

4

-y2=1

，
得（

5

4

-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（

5

4

-k²）＞0
x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

PB1

?

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
将x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

代入，
得

PB1

?

QB1

=

8

4k2-5

+1-k?

8k

4k2-5

+2+k2?

8

4k2-5

-k?

8k

4k2-5

+1
=

8-8k2

4k2-5

+4
=

8k2-12

4k2-5

．
∴

PB1

?

QB1

=

8k2-12

4k2-5

∈（0，4]，
即0＜

8k2-12

4k2-5

≤4，
∴

8k2-12

4k2-5

＞0

8k2-12

4k2-5

≤4

①
②

，
由①得k2≤

5

4

，或k2＞

3

2

，
由②得k²≤1，或k2＞

5

4

，
故k²≤1，或k2＞

3

2

解得k∈（-∞，-

6

2

）∪[-1，1]∪（

6

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线x2=2y上两点A（-1，12）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：