已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

试题来源：朝阳区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1．
函数y=f（x）的导数为f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，
则f′（1）=-

2

1

+

a

1

，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x²，x∈（0，+∞）．
①当a=0时，在区间（0，e]上f′（x）=-2/x²，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为F（e）=

2

e

．
②当

2

a

＜0，即a＜0时，在区间（0，e]上f′（x）＜0，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=

2

e

+a．
③当0＜

2

a

＜e，即a＞

2

e

时，
在区间(0，

2

a

)上f′（x）＜0，此时f（x）在区间(0，

2

a

)上单调递减；
在区间(

2

a

， e]上f′（x）＞0，此时f（x）在区间(

2

a

， e]上单调递增；
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（

2

a

）=a+aln2．
④当

2

a

≥e，即0＜a≤

2

e

时，
在区间（0，e]上f′（x）≤0，此时f（x）在区间（0，e]上为单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=

2

e

+a．
综上所述，当a≤

2

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为

2

e

+a；
当a＞

2

e

时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为a+aln

2

a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x+alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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