已知函数f(x)=13x3-ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f'（x）=x²-a，
当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意
（II）当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当a＞0时，令f'（x）=x²-a=0，x1=-

a

，x2=

a

，
当0＜a＜1时，

a

＜1，当x∈(0，

a

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(

a

，1)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x=

a

处取得最小值f(

a

)=1-

2a

a

3

．
当a≥1时，

a

≥1，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处取得最小值f(1)=

4

3

-a．
综上所述：
当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当0＜a＜1时，f（x）在x=

a

处取得最小值f(

a

)=1-

2a

a

3

．
当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值f(1)=

4

3

-a．
（III）因为?m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
所以f'（x）=x²-a≠-1对x∈R成立，
只要f'（x）=x²-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x²-a的最小值为f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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