发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)当k=1时,函数f(x)=ex-(1+x+x2)(x>0), 则f(x)的导数f'(x)=ex-(1+2x),f'(x)的导数f''(x)=ex-2.…(2分) 令f''(x)=ex-2=0,可得x=ln2, 当0<x<ln2时,f''(x)<0;当x>ln2时,f''(x)>0, 从而f'(x)在(0,ln2)内递减,在(ln2,+∞)内递增.…(4分) 故导数f'(x)的极小值为f'(ln2)=1-2ln2…(6分) (Ⅱ)解法1:对任意的t>0,记函数Ft(x)=f(x)-tx2=ex-[1+x+(k+t)x2](x>0), 根据题意,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,Ft(x)<0. 则Ft(x)的导数F′t(x)=ex-[1+2(k+t)x],F't(x)的导数Ft′′(x)=ex-2(k+t)…(9分) ①若Ft′′(0)≥0,因Ft′′(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,Ft′′(x)>Ft′′(0)≥0, 于是F't(x)在(0,s)上递增,则当x∈(0,s)时,F't(x)>F't(0)=0,从而Ft(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,Ft(x)>Ft(0)=0,与已知矛盾 …(11分) ②若Ft′′(0)<0,注意到Ft′′(x)在[0,s)上连续且递增,故存在s>0,使得当x∈(0,s)Ft′′(x)<0,从而F't(x)在(0,s)上递减,于是当x∈(0,s)时,F't(x)<F't(0)=0, 因此Ft(x)在(0,s)上递减,故当x∈(0,s)时,Ft(x)<Ft(0)=0,满足已知条件…(13分) 综上所述,对任意的t>0,都有Ft′′(0)<0,即1-2(k+t)<0,亦即k>
再由t的任意性,得k≥
解法2:由题意知,对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有
又f(0)=0,则存在s0>0,使得当x∈(0,s0)时,f(x)为减函数,即当x∈(0,s0)时使f'(x)=ex-1-2kx≤0成立, 又f'(0)=0,故存在s0>s>0,使得当x∈(0,s)时f'(x)为减函数, 则当x∈(0,s)时f′′(x)≤0成立,即ex-2k≤0,得k≥
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).(Ⅰ)若k=1,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。