已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）对一切实数a∈（0，1），求f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴f(x)=

5

3

x3-3x2+x-

1

3

∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15． …（4分）
（2）①若a=0，f(x)=-

1

2

x2+x-

1

3

=-

1

2

(x-1)2+

1

6

，
∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）． …（6分）
②若a＜0，则f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，x∈R，
令f′（x）＜0，得(x-

1

a

)(x-1)＞0．∴x＜

1

a

，或x＞1． …（9分）
∴f（x）的单调减区间为(-∞，

1

a

)，（1，+∞）． …（10分）
（3）f′(x)=a(x-1)(x-

1

a

)，0＜a＜1，
列表：

x

（-∞，1）

1

（1，

1

a

）

1

a

（

1

a

，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

…（12分）
∴f（x）的极小值为f(

1

a

)=

a

3

?

1

a3

-

1

2

(a+1)

1

a2

+

1

a

-

1

3

=-

1

6

?

1

a2

+

1

2

?

1

a

-

1

3

=-

1

6

(

1

a

-

3

2

)2+

1

24

． …（14分）
当a=

2

3

时，函数f（x）的极小值f（

1

a

）取得最大值为

1

24

． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：