已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．(Ⅰ)求实数b，c的值；(Ⅱ)求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；(Ⅲ)对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
(Ⅰ)求实数b，c的值；
(Ⅱ)求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
(Ⅲ)对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

试题来源：福建省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)当x＜1时，

，
依题意，得

，即

，
解得b=c=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

，
①当-1≤x＜1时，

，
令f′(x)=0得x=0或

，
x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

又

，
∴f(x)在[-1，1）上的最大值为2；
②当1≤x≤2时，f(x)=alnx，
当a≤0时，f（x）≤0；
当a＞0时，f(x)在[1，2]上单调递增，
∴f(x)在[1，2]的最大值为aln2；
综上所述，当aln2≤2，即

时，f(x)在[-1，2]上的最大值为2；
当aln2＞2，即

时，f(x)在[-1，2]上的最大值为aln2。
(Ⅲ)假设曲线y=f(x)上存在两点P，Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则

，显然t≠1，
∵△POQ为直角三角形，
∴

，即

，①
是否存在P，Q等价于方程①是否有解，
若0＜t＜1，则f(t)=-t³+t²，代入①式得，-t²+(-t³+t²)(t³+t²)=0，
即t⁴-t²+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1，
∴f(t)=alnt，代入①式得，-t²+(alnt)(t³+t²)=0，即

=(t+1)lnt，(*)
考察函数h(x)=(x+1)lnx(x≥1)，则h′(x)=lnx+

+1＞0，
∴h(x)在[1，+∞）上单调递增，
∵t＞1，
∴h(t)＞h(1)=0，当t→+∞时，h(t)→+∞，
∴h(t)的取值范围为(0，+∞)，
∴对于a＞0，方程(*)总有解，即方程①总有解，
因此对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上总存在两点P，Q使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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