已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．（Ⅰ）若c=﹣a2，且|x1﹣x2|=2，求b的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f‘（x）+x，若0＜x1＜x2＜，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＞0）在x=x₁和x=x₂处取得极值．
（Ⅰ）若c=﹣a²，且|x₁﹣x₂|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f '（x）+x，若0＜x₁＜x₂＜

，且x∈（0，x₁），证明：x＜g（x）＜x₁．

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）∵c=﹣a²，
∴f ' （x）=3ax²+2bx﹣a²，
∵x₁、x₂是方程3ax²+2bx﹣a²=0的两根，a＞0，
∴x₁+x₂=﹣

，x₁x₂=﹣

；
∵|x₁﹣x₂|=2，
∴

﹣4x1x2=4，即

﹣4（﹣

）=4，
整理得b²=3a²（3﹣a），
∵b²≥0，∴0＜a≤3；
设h（a）=﹣3a³+9a²，
则h'（a）=﹣9a²+18a；
由h'（a）＞0，得0＜a＜2；由h'（a）＜0，得a＞2．
∴h（a）=﹣3a³+9a²在区间（0，2）上是增函数，在区间（2，3）上是减函数，
∴当a=2时，h（a）有极大值12，
∴h（a）在（0，3]上的最大值是12，
从而b的最大值是2

（Ⅱ）由g（x）=f '（x）+x，得f '（x）=g（x）﹣x，
∵x₁、x₂是方程f '（x）=0的两根，
∴f '（x）=g（x）﹣x=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂），当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，
故（x﹣x₁）（x﹣x₂）＞0，又a＞0，
故g（x）﹣x=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂）＞0，即g（x）＞x；
又x₁﹣g（x）=x₁﹣[x+f '（x）]=x₁﹣x﹣3a（x﹣x₁）（x﹣x₂）=（x₁﹣x）[1+3a（x﹣x₂）]，

，
∴x₁﹣x＞0，[1+3a（x﹣x₂）]=1+3ax﹣3ax₂＞1﹣3ax₂＞0，
∴g（x）＜x₁；
综上所述：x＜g（x）＜x₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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