设f(x)=ax2+bx．（1）当a=-1，b=4时，求函数f（ex）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=ax2+bx．（1）当a=-1，b=4时，求函数f（ex）（e是自然对数的底数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

设f(x)=

ax2+bx

．
（1）当a=-1，b=4时，求函数f（e^x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；
（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（14分）（1）f(ex)=

-e2x+4ex

，
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函数f（e^x）的定义域是（-∞，ln4]．…（2分）
设e^x=t＞0，则f(ex)=

-t2+4t

，
记g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，则对于每个正数b，f(x)=

bx

的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件； …（6分）
②若a＞0，则对于正数b，f(x)=

ax2+bx

的定义域为D={x|ax²+bx≥0}=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A?[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合条件； …（9分）
③若a＜0，则对正数b，f(x)=

ax2+bx

的定义域D=[0，-

b

a

]
由于此时(f(x))max=f(-

b

2a

)=

b

2

-a

，故f（x）的值域为[0，

b

2

-a

]
则-

b

a

=

b

2

-a

?

a＜0

2

-a

=-a

?a=-4
综上所述：a的值为0或-4…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=ax2+bx．（1）当a=-1，b=4时，求函数f（ex）（e是自然对数的底数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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