已知函数f（x）=4-1x（x＞0），（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=4-1x（x＞0），（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=4-

1

x

（x＞0），
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(4-

1

x1

)-(4-

1

x2

)
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=

x1-x2

x1x2

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），
∴

f(m)=4-

1

m

=m

f(n)=4-

1

n

=n

，
解得：

m=2-

3

n=2+

3

．
∴m=2-

3

，n=2+

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=4-1x（x＞0），（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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