发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-30 07:30:00
| 试题原文 |
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（1）由于f′(x)＞
则xf′（x）-f（x）＞0， 则F′（x）=
（2）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，而F(x)=
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），同理 （x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2） （1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0， 因此 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）． （3）证法1：由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2+…+xn，而F(x)=
即
∴（x1+x2+…+xn）f（x1）＞x1f（x1+x2+…+xn） 同理 （x1+x2+…+xn）f（x2）＞x2f（x1+x2+…+xn）…（x1+x2+…+xn）f（xn）＞xnf（x1+x2+…+xn） 以上n个不等式相加得：（x1+x2+…+xn）[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]＞（x1+x2+…+xn）f（x1+x2+…+xn） 而x1+x2+…+xn＞0，f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）． 证法2：数学归纳法 ①当n=2时，由（2）知，不等式成立； ②当n=k（n≥2）时，不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）成立， 即f（x1）+f（x2）+…f（xk）＞f（x1+x2+…+xk）成立， 则当n=k+1时，f（x1）+f（x2）+…f（xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1） 再由（2）的结论，f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f[（x1+x2+…+xk）+xk+1]f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk+xk+1） 因此不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）对任意n≥2的自然数均成立 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f‘（x），且对任意正数x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。