设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）?f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；（2）设a∈R，试解关于x的不-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）?f（n）=f（m+n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）?f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x²-3ax+1）?f（-3x+6a+1）≥1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①证明：在f（m）?f（n）=f（m+n）中，
令m=n=0
得f（0）?f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）?f（0）．
∴f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，则当x＜0时，
有f（x）=f（x+0）=f（x）?f（0）=0，
与题设矛盾，
∴f（0）=1．
②当x＞0时，-x＜0，由已知得f（-x）＞1，
又f（0）=f[x+（-x）]=f（x）?f（-x）=1，f（-x）＞1，
∴0＜f（x）=

f(0)

f(-x)

＜1，即x＞0时，0＜f（x）＜1．
③任取x₁＜x₂，则f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）?f（x₂），
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞1，又由（1）（2）及已知条件知f（x₂）＞0，
∴f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在定义域R上为减函数．
（2）f（x²-3ax+1）?f（-3x+6a+1）=f（x²-3ax+1-3x+6a+1）=f[x²-3（a+1）x+2（3a+1）]
又f（0）=1，f（x）在R上单调递减，
∴原不等式等价于x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0
不等式可化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0
当2＜3a+1，即a＞

1

3

时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；
当2=3a+1，即a=

1

3

时，（x-2）²≤0，不等式的解集为{2}；
当2＞3a+1，即a＜

1

3

时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）?f（n）=f（m+n..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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