已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求t的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
当a＞1，函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x₁＜x_2，则 f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2) (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因为x₁＜x₂，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0，

a

a2-1

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）为R上的增函数
同理，当0＜a＜1时，函数f（x）为R上的增函数
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．

-1＜1-t＜1

-1＜1-t2＜1

t2+t-2＞0

∴1＜t＜

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：