设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴

ax2+1

bx+c

+

ax2+1

-bx+c

=0，∴(ax2+1)

2c

(bx+c)(-bx+C)

=0，
解得 c=0，即f(x)=

ax2+1

bx

．
又f（1）=2，∴2=

a+1

b

， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得

4a+1

2b

＜3，

4a+1

a+1

＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则b=

1

2

?N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x₁＜x₂≤-1，则：f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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