根据函数单调性的定义，判断f(x)=axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．-数学试题及答案

1、试题题目：根据函数单调性的定义，判断f(x)=axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

根据函数单调性的定义，判断f(x)=

ax

x2+1

（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，（2分）
则f(x1)-f(x2)=

ax1

x

21

+1

-

ax2

x

22

+1

=a

(x1-x2)(1-x1x2)

(

x

21

+1)(

x

22

+1)

（6分）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＜0．（8分）
（1）当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的减函数；（10分）
（2）当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的增函数；（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“根据函数单调性的定义，判断f(x)=axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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