（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（--数学试题及答案

1、试题题目：（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）为奇函数．
令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)有，
2f（0）=f（0），f（0）=0；
令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得：
f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
∴f（x）=-f（-x），得证．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1?x2

)，
由题设知，必有-1＜

x1-x2

1-x1?x2

＜1
又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁?x₂∈（-1，1），所以1-x₁?x₂＞0，
所以-1＜

x1-x2

1-x1?x2

＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1?x2

)＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）∵f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0，f（x）为奇函数，
∴f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
∴

-1＜x+

1

2

＜ 1

-1＜

1

x-1

＜1

x+

1

2

＜

1

x-1

解得：-

3

2

＜x＜-1
∴不等式的解集为：{x|-

3

2

＜x＜-1}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：