已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，（1）设x，y∈（0，+∞），求证f(yx)=f(y)-f(x)；（2）设x1，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），若f（x₁）＜f（x₂），试比较x₁与x₂的大小；
（3）解关于x的不等式f（x²-2x+1）＞0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f(

y

x

)+f(x)=f(y)，
∴f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
又f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，所以f(

x1

x2

)＜0
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴

x1

x2

＞1，x₁＞x₂
（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
∴f（x²-2x+1）＞0?f（x²-2x+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x²-2x+1＜1，
解得0＜x＜2且x≠1，
∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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