已知f（x）=loga1+xx-1（a＞0，a≠1）．（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；（3）若f（x）≥loga2x，求x的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=loga1+xx-1（a＞0，a≠1）．（1）判断f（x）在（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f（x）=log_a

1+x

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=log_a

x2+1

x2-1

-log_a

x1+1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

=log_a

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

．
又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．
∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．
∴0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．
当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由

x+1

x-1

＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵

x+1

x-1

=1+

2

x-1

≠1，∴f（x）≠0．
当a＞1时，
∵x＞1?f（x）＞0，x＜-1?f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1?1＜x＜f^-1（1）=

a+1

a-1

．
∴

r=1

a-2=

a+1

a-1

.

∴

r=1

a=2±

3

(负号不符合).

当0＜a＜1时，
∵x＞1?f（x）＜0，x＜-1?f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
∴f（x）＞1?-1＞x＞f^-1（1）=

a+1

a-1

．
∴

r=

a+1

a-1

a-2=-1

无解．
综上，得a=2+

3

，r=1．
（3）由f（x）≥log_a2x得
当a＞1时，

x＞1

x+1＞2x(x-1)

?

3-

17

＜x＜

3+

17

4

且x＞1．
∴1＜x＜

3+

17

4

．
当0＜a＜1时，

x＞1

x+1＜2x(x-1)

∴x＞

3+

17

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=loga1+xx-1（a＞0，a≠1）．（1）判断f（x）在（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：