已知f(n)=1+123+133+143…+1n3，g(n)=32-12n2，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(n)=1+123+133+143…+1n3，g(n)=32-12n2，n∈N*．（1）当n=1，2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

已知f(n)=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

…+

1

n3

，g(n)=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时，f(2)=

9

8

，g(2)=

11

8

，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时，f(3)=

251

216

，g(3)=

312

216

，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+

1

k3

＜

3

2

-

1

2k2

，
那么，当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+

1

(k+1)3

＜

3

2

-

1

2k2

+

1

(k+1)3

，
因为

1

2(k+1)2

-(

1

2k2

-

1

(k+1)3

)=

k+3

2(k+1)3

-

1

2k2

=

-3k-1

2(k+1)3k2

＜0，
所以f(k+1)＜

3

2

-

1

2(k+1)2

=g(k+1)．
由①、②可知，对一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(n)=1+123+133+143…+1n3，g(n)=32-12n2，n∈N*．（1）当n=1，2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：