如图（1）所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2。（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠-数学试题及答案

1、试题题目：如图（1）所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-13 07:30:00

试题原文

如图（1）所示，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2。
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

图1 图2

试题来源：四川省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，2）， ∴x=2 又∵tan∠OAC==2， ∴OA=1，即A（1，0），又∵点A在抛物线y=x²+bx+2上， ∴0=1²+b×1+2，b=-3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²-3x+2；
（2）存在，过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示， ∴x=-， ∴AE=OE-OA=-1=， ∵∠APC=90°， ∴tan∠PAE= tan∠CPD ∴，即，解得PE=或PE=， ∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x+2， ∵点M是直线l′和线段BC的交点， ∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2） ∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t ∴S_△BCM=S_△MNC+S_△MNB=MN·t+MN·（2-t）=MN·（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2）， ∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1 ∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图（1）所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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