设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面条件的任意两点．若OM=12(OA+OB)，则点M的横坐标为12．（1）求证：M点的纵坐标为定植；（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-数学试题及答案

1、试题题目：设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上满足下面条件的任意两点．若

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，则点M的横坐标为

1

2

．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=

2

3

(n=1)

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

(n≥2)

，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)∴M是AB中点，设M为（x，y）
由

1

2

(x1+x2)=x=

1

2

，得x₁+x₂=1，∴x₁=1-x₂或x₂=1-x₁∴y=

1

2

(y1+y2)
=

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=

1

2

(

1

2

+log2

x

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

)
=

1

2

(1+log2

x1

1-x1

+log2

x2

1-x2

)
=

1

2

(1+log2[

x1

1-x1

?

x2

1-x2

]
=

1

2

(1+log2

x1

x2

?

x2

x1

)=

1

2

∴M点的纵坐标的定值为

1

2

（2）由（1）知，x₁+x₂=1，
则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)，
上述两式相加，得
2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]++[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]
=1+1++1
∴Sn=

n-1

2

??(n≥2，n∈N*)

（3）当n=1时，Tn=a1=

2

3

，Sn+1+1=S2+1=

3

2

，
由T_n＜λ（S_n+1+1），得

3

2

＜

3

2

λ，得λ＞

4

9

．
当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴Tn=a1+a2++an=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=

2n

n+2

由T_n＜λ（S_n+1+1），得

2n

n+2

＜λ＜

n+2

n

，
∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+

4

n

+4

，
∵

4

n+

4

n

+4

≤

4

4+4

=

1

2

，（当且仅当n=2时，=成立）∴λ＞

1

2

．
综上所述，若对一切n∈N^*．都有T_n＜λ（S_n+1+1）成立，由于

4

9

＜

1

2

，所以λ＞

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：