设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n+2），n∈N*．（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=a1a2a3…an，n∈N*，求数列bn的通项公式及前n项和Tn；（3）在（2）的条件下，求证：3-数学试题及答案

1、试题题目：设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n+2），n∈N*．（1）求数列an的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列n²a_n的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）若数列b_n满足b_n=a₁a₂a₃…a_n，n∈N^*，求数列b_n的通项公式及前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，求证：

3

b1

+

32

2b2

+

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

n

n+1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，a₁=6；
当n≥2时，S_n=n（n+1）（n+2）①
S_n-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n²a_n=3n（n+1），即an=

3(n+1)

n

．
综上得：an=

3(n+1)

n

．（4分）
（2）因为an=

3(n+1)

n

，
所以bn=a1a2a3an=

3×2

1

×

3×3

2

×

3×4

3

××

3(n+1)

n

=3n(n+1)．
故b_n=3ⁿ（n+1）．（6分）
T_n=2?3+3?3²+4?3³+…+n?3^n-1+（n+1）?3ⁿ．③
3T_n=2?3²+3?3³+4?3⁴+…+n?3ⁿ+（n+1）?3ⁿ⁺¹．④
③-④得：-2T_n=2?3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）?3ⁿ⁺¹=

1

2

?3n+1+

3

2

-(n+1)?3n+1
化简得：Tn=(

n

2

+

1

4

)?3n+1-

3

4

．（9分）
（3）由b_n=3ⁿ（n+1），得

3n

bn

=

1

n+1

，等式两端同时乘以

1

n

，
得

3n

nbn

=

1

n(n+1)

．则有

3

b1

+

32

2b2

+

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n+2），n∈N*．（1）求数列an的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：