已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=4an+1an2an+22，且数列{bn}的前n项之和为Tn，求证：Tn＜54．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有nan+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

4an+1

an2an+22

，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：Tn＜

5

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解法一：由na_n+1=2S_n①
得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1②，
由①-②可得，na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
所以na_n+1=（n+1）a_n，
即当n≥2时，

an+1

an

=

n+1

n

，
所以

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，

a5

a4

=

5

4

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
将上面各式两边分别相乘得，

an

a2

=

n

2

，
即an=

n

2

?a2（n≥3），
又a₂=2S₁=2a₁=2，所以a_n=n（n≥3），
此结果也满足a₁，a₂，
故a_n=n对任意n∈N₊都成立．…（7分）
解法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，
得nS_n+1=（n+2）S_n，
即

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，
∴当n≥2时，Sn=S1?

S2

S1

?

S3

S2

?…?

Sn

Sn-1

=1×

3

1

×

4

2

×

5

3

×…×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

（此式也适合S₁），
∴对任意正整数n均有Sn=

n(n+1)

2

，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（此式也适合a₁），
故a_n=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得bn=

4an+1

an2an+22

=

4n+4

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

Tn=

1

12

-

1

32

+

1

22

-

1

42

+

1

32

-

1

52

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

=1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

=

5

4

-

(n+1)2+(n+2)2

(n+1)2(n+2)2

＜

5

4

∴Tn＜

5

4

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有nan+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：