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1、试题题目：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=
1
3
（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn=nanbn（n=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn．

  试题来源：广东   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由an=
1
3
(an-1-an-2)得an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)（n≥3）
又a2-a1=1≠0，
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为-
2
3
的等比数列，an+1-an=(-
2
3
)n-1
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）
=1+1+(-
2
3
)+(-
2
3
)2++(-
2
3
)n-2
=1+
1-(-
2
3
)n-1
1+
2
3
=
8
5
-
3
5
(-
2
3
)n-1，
当n为奇数时当n为偶数时
由
-1≤b1+b2≤1
-1≤b2≤1
b2∈Z，b2≠0

得b2=-1，
由
-1≤b2+b3≤1
-1≤b3≤1
b3∈Z，b3≠0

得b3=1，
同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；
因此bn=
1，n为奇数
-1，n为偶数
．
（2）cn=nanbn=
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1

Sn=c1+c2+c3+c4++cn
当n为奇数时，Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
++
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=
4(n+1)
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
当n为偶数时
Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+-
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=-
4n
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
令Tn=1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1①
①×
2
3
得：
2
3
Tn=1×(
2
3
)1+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+4×(
2
3
)4++n(
2
3
)n②
①-②得：
1
3
Tn=1+(
2
3
)1+(
2
3
)2+(
2
3
)3+(
2
3
)4++(
2
3
)n-1-n(
2
3
)n=
1-(
2
3
)n
1-
2
3
-n(
2
3
)n=3-(3+n)(
2
3
)n
∴Tn=9-(9+3n)(
2
3
)n
当n为奇数时当n为偶数时
因此Sn=
4n-23
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
-
4n+27
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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