若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为_____

1、试题题目：若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

若数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则数列{a_n}的前60项和为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵数列{a_n}的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1，两式相减得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

结合a₁=

1

2

，可得a_n=

1

n(n+1)

当n=1时，也满足上式，故a_n=

1

n(n+1)

对任意n∈N₊成立，
可得a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
因此，数列数列{a_n}的前n项和为S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴{a_n}的前60项和为

60

61

故答案为：

60

61

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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