已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列{1an-1}为等比数列；（Ⅱ）记Sn=1a1+1a2+…+1an，若Sn＜100，求最大的正整数n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，其中n∈N₊．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

-1}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整数n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，
∵

1

a1

-≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N₊），
∴数列{

1

an

-1}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1
Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=n+2×(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=n+2?

1

3

-

1

3n+1

1-

1

3

=n+1-

1

3n

，
若S_n＜100，则n+1-

1

3n

＜100，
∴n_max=99．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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