已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求数列{bn}的前n项和Tn-数学试题及答案

1、试题题目：已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

试题来源：河北区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵S_n+a_n=n，
∴a₁=

1

2

，a₂=

3

4

，a₃=

7

8

．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n，…①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，…②
②-①得2a_n+1-a_n=1，
即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1）．…（5分）
又a₁-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．…（7分）
∴a_n-1=（-

1

2

）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
可得a_n=1-(

1

2

)n．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=1-(

1

2

)n，
∵b_n=（2-n）（a_n-1）=（2-n）[-(

1

2

)n]=

n-2

2n

，…（10分）
所以数列{b_n}的前n项和T_n=

-1

2

+

0

22

+

1

23

+…+

n-2

2n

．…①
所以

1

2

T_n=

-1

22

+

0

23

+

1

24

+…+

n-2

2n+1

．…②…（12分）
①-②得

1

2

T_n=

-1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n-2

2n+1

=-

n

2n+1

．
所以T_n=-

n

2n

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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