若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N*），设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)（Ⅰ）求S1、S2、S3；（Ⅱ）求Sn；（III）设bn=1Sn-1，求证数列{-数学试题及答案

1、试题题目：若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n；
（III）设bn=

1

Sn-1

，求证数列{b_n}的前n顶和Tn＜

3

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊…（4分）
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2?2^n-1）]…（5分）
=

(1+2n-1)?2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]…（6分）
=4^n-1+S_n-1…（7分）
则Sn-Sn-1=4n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁…（8分）
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(4n-1-1)

4-1

+2=

1

3

?4n+

2

3

…（9分）
（Ⅲ）bn=

1

Sn-1

=

3

4n-1

=

3

(2n)2-1

=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（10分）Tn=

3

2

(

1

21-1

-

1

2+1

)+

3

2

(

1

22-1

-

1

22+1

)+

3

2

(

1

23-1

-

1

23+1

)+…+

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

3

2

[1-

1

2+1

+

1

22-1

-

1

22+1

+

1

23-1

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1+1

+

1

2n-1

-

1

2n+1

]
=

3

2

[1-(

1

3

-

1

3

)-(

1

22+1

-

1

23-1

)-…-(

1

2n-1+1

-

1

2n-1

)-

1

2n+1

]…（11分）
∴当n=1时，T1=b1=1＜

3

2

成立 …（12分）
当n≥2时，

1

2n-1+1

-

1

2n-1

=

2n-1-2n-1-1

(2n-1+1)(2n-1)

=

2n-1-2

(2n-1+1)(2n-1)

≥0…（13分）
∴Tn=

3

2

[1-(

1

2+1

-

1

22-1

)-(

1

22+1

-

1

23-1

)-…(

1

2n-1+1

-

1

2n-1

)-

1

2n+1

＜

3

2

?1=

3

2

，
∴Tn＜

3

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：