已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5（1）求p与m的值；；（2）斜率为1的直线不过点P（2，2），且与抛物线交于点A，B，直线AP，BP分别交抛物线于点C，D，求证：直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5
（1）求p与m的值；；
（2）斜率为1的直线不过点P（2，2），且与抛物线交于点A，B，直线AP，BP分别交抛物线于点C，D，求证：直线AD，BC交于一个定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由抛物线方程得其准线方程：x=-

p

2

，
根据抛物线定义点Q（4，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+

p

2

=5，解得p=2
所以抛物线方程为：y²=4x，将Q（4，m）代入抛物线方程，解得m=±4．…（6分）
（2）证明：设点A，B，C，D的坐标分别为(

y

21

4

， y1)，(

y

22

4

， y2)，(

y

23

4

， y3)，(

y

24

4

， y4)，
则直线AB的斜率KAB=

y1-y2

y

21

4

-

y

22

4

=

4

y1+y2

，于是得y₁+y₂=4．
同理知直线AC，BD，AD，BC的斜率分别为

4

y1+y3

，

4

y2+y4

，

4

y1+y4

，

4

y2+y3

，
由A，P，C三点共线得

4

y1+y3

=

y1-2

y

21

4

-2

，即y₁y₃-2（y₁+y₃）+8=0，
以4-y₂代y₁得y₂y₃-2（y₂+y₃）=0，①
同理由B，D，P共线得y₁y₄-2（y₁+y₄）=0②
设AD，BC交点为M（m，n），
由A，D，M共线知

4

y1+y4

=

y1-n

y

21

4

-m

，即y₁y₄-n（y₁+y₄）+4m=0③
同理由B，C，M共线得y₂y₃-n（y₂+y₃）+4m=0④
将①②代入③④得（2-n）（y₁+y₄）+4m=0，（2-n）（y₂+y₃）+4m=0
∵y₁+y₄≠y₂+y₃，∴m=0，n=2
即直线AD，BC交于一个定点M（0，2）…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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