解：（1）画图如右
∵OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，
∴DA=DB，
从而OD平分∠ADB；
（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，则E（4，0），
使四边形AOCE为平行四边形，理由如下：
∵AO=2=CE，又AO⊥x轴，CE⊥x轴AO∥CE，
∴四边形AOCE是平行四边形；
（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k₁x+b₁，
则
∴直线AC的解析式为y=-x+2，
令y=0，得x=2，
故D的坐标为（2，0），
由于抛物线关于CE对称，故D关于CE的对称点D′（6，0）也在抛物线上，
所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有，
∴抛物线解析式为y=，
其顶点为F，
设经过F，A（0，2）的解析式为y=k₂x+b₂，
则，
∴直线FA的解析式为y=-x+2。