如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-13 07:30:00

试题原文

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为

，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a-b）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

试题来源：四川省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题意可知C（0，-3），

，
∴抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，

，
∴CN=2，于是m=-1．同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2-2a×3-3=0，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），D（0，1），
∴在Rt△BCE中，

，

，
∴

，即

，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，
因此sin（a-b）=sin（∠DBC-∠OBD）
=sin∠OBC=

；
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0），
过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得

，过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，
由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0），
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，1∕3），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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