设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求数列{an}的通-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y）成立．数列{a_n}满足a₁=f（0），且 f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正数k，使(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，
且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y）成立．
∴令x=-1，y=0，
得f（-1）=f（-1）?f（0），
得f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）由f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得f（a_n+1）?f（-2-a_n）=1，
∴f（a_n+1-a_n-2）=f（0），
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．
∴{a_n}是等差数列，其首项为1，公差为d=2，
∴a_n=2n-1（8分）
（Ⅲ）存在正数k，使(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

成立．
记F(n)=

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)

2n+1

，
则

F(n+1)

F(n)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞1，
∴F（n）单调递增，
∴F（1）为F（n）的最小值，
由F（n）≥k恒成立知k≤

2

3

，
∴k的最大值为

2

3

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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